Şirul lui Fibonacci – secţiunea de aur [1]

  Ce au în comun aranjamentul petalelor unui trandafir, dispunerea
semințelor într-o floare a soarelui, brocoliul chinezesc, pictura lui
Salvador Dali  „Cina cea de taină“,                 „Omul vitruvian“ al lui Leonardo da Vinci,  cochiliile spiralate ale moluștelor, vortexul unei galaxii și traiectoria șoimilor când coboară spre pradă?

Toate aceste exemple, foarte diverse, au în comun un număr, sau o
proporție geometrică, definită de Euclid cu mai bine de două mii de
ani în urmă, un număr care, în secolul al XIX-lea, a primit numele de
„numărul de aur“, „raportul de aur“ , „secțiunea de aur“ sau „secțiunea divină“ și este notat cu τ (de la grecescul τομη, care înseamnă „tăietură“) sau, mai frecvent, cu φ (de la numele  sculptorului grec Fidias), despre care istoricii artei spun că l-a folosit frecvent în sculptura sa.

Algebra lui φ este la fel de uluitoare ca și aparițiile sale în formele
naturii și este în strânsă legătură cu un șir de numere și el foarte
prezent în lumea viului, în phyllotaxis-ul („aranjarea frunzelor“,
în greacă) plantelor, la petalele multor flori, în solzii ananasului și
ai conurilor de brad, în arborele genealogic al trântorului, în structura
bronhiilor, ca și în molecula ADN-ului uman: șirul lui Fibonacci.

Definiţii şi proprietăţi algebrice

Prima definiție clară a mărimii cunoscute ulterior drept secțiunea de aur a fost dată în jurul anului 300 î.Cr.  de Euclid în următoarele cuvinte: „Spunem că un segment de dreaptă a fost împărțit în medie și extremă rație atunci când întregul se raportează la segmentul mai mare așa cum segmentul mai mare se raportează la cel mai mic.“ Cu alte cuvinte, dacă avem un segment de dreaptă și îl împărțim în două subsegmente de lungimi a și b astfel încât (a+b)/a=a/b, atunci spunem că segmentul a fost împărțit în medie și extremă rație sau într-o secțiune de aur.

Numărul de aur este primul număr irațional din istoria matematicii, altfel spus, primul număr despre care s-a descoperit că nu poate fi exprimat ca fracție (ca raport a două numere întregi). El este rădăcina pozitivă a ecuației:

și are valoarea:

În strânsă legătură cu raportul de aur se află șirul de numere: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…, numit șirul lui Fibonacci, pentru care, oricare termen, începând cu al treilea, este suma celor doi termeni din șir imediat precedenți, șirul pornind cu primii doi termeni egali cu o unitate. Formula sa de recurență este:

Raportul a doi termeni consecutivi ai șirului tinde către numărul de aur.

Șirul lui Fibonacci exprimă legea creșterilor organice, adică este formalizarea matematică a modului în care se produc procesele de creștere în natură.

Șirul lui Fibonacci poate fi definit și prin formula termenului general (formula lui Binet):

Între cele două definiții este un decalaj: conform primei definiții (1)

iar conform celei de-a doua definiții (2)

Cu excepția primilor doi termeni de la început, cele două definiții descriu același șir. Într-adevăr, dacă considerăm șirul definit în prima formă (1), în urma unor calcule elementare constatăm că șirul verifică relația de recurență din definiția (2) pentru orice n≥4.
Pornind de la formula φ2= 1 + φ, obținem expresia lui φ ca radical continuu:

numărul de aur apare acum ca fiind limita șirului:

Pornind de la formula φ = 1 + 1/φ, obținem expresia lui φ ca fracție continuă:

numărul de aur apare acum ca fiind limita șirului:

Zecimalele numărului φ sunt identice cu cele ale lui 1/φ și φ2:

Aici se încheie prima parte, cu o prezentare  video a numărului de aur şi a şirului lui Fibonacci:

Sursa: 1

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Dacă ţi-a plăcut, te invit: să distribui(share) sau să apreciezi(like)  sau să comentezi(comment) postarea.

Mulţumesc, Zâmbetul Soarelui !

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––