Şirul lui Fibonacci – secţiunea de aur [1]

18 Oct

Şirul lui Fibonacci - secţiunea de aur  Ce au în comun aranjamentul petalelor unui trandafir, dispunerea
semințelor într-o floare a soarelui, brocoliul chinezesc, pictura lui
Salvador Dali  Cina cea de taină,                 Omul vitruvian al lui Leonardo da Vinci,  cochiliile spiralate ale moluștelor, vortexul unei galaxii și traiectoria șoimilor când coboară spre pradă?

Şirul lui Fibonacci - secţiunea de aurToate aceste exemple, foarte diverse, au în comun un număr, sau o
proporție geometrică, definită de Euclid cu mai bine de două mii de
ani în urmă, un număr care, în secolul al XIX-lea, a primit numele de
numărul de aur“, „raportul de aur“ , „secțiunea de aur“ sau „secțiunea divină“ și este notat cu τ (de la grecescul τομη, care înseamnă „tăietură“) sau, mai frecvent, cu φ (de la numele  sculptorului grec Fidias), despre care istoricii artei spun că l-a folosit frecvent în sculptura sa.

Şirul lui Fibonacci - secţiunea de aurAlgebra lui φ este la fel de uluitoare ca și aparițiile sale în formele
naturii și este în strânsă legătură cu un șir de numere și el foarte
prezent în lumea viului, în phyllotaxis-ul („aranjarea frunzelor“,
în greacă) plantelor, la petalele multor flori, în solzii ananasului și
ai conurilor de brad, în arborele genealogic al trântorului, în structura
bronhiilor, ca și în molecula ADN-ului uman: șirul lui Fibonacci.

Definiţii şi proprietăţi algebrice

Prima definiție clară a mărimii cunoscute ulterior drept secțiunea de aur a fost dată în jurul anului 300 î.Cr.  de Euclid în următoarele cuvinte: Şirul lui Fibonacci - secţiunea de aur„Spunem că un segment de dreaptă a fost împărțit în medie și extremă rație atunci când întregul se raportează la segmentul mai mare așa cum segmentul mai mare se raportează la cel mai mic.“ Cu alte cuvinte, dacă avem un segment de dreaptă și îl împărțim în două subsegmente de lungimi a și b astfel încât (a+b)/a=a/b, atunci spunem că segmentul a fost împărțit în medie și extremă rație sau într-o secțiune de aur.

Numărul de aur este primul număr irațional din istoria matematicii, altfel spus, primul număr despre care s-a descoperit că nu poate fi exprimat ca fracție (ca raport a două numere întregi). El este rădăcina pozitivă a ecuației:

ppppp.jpg

și are valoarea:

p3.jpg

În strânsă legătură cu raportul de aur se află șirul de numere: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…, numit șirul lui Fibonacci, pentru care, oricare termen, începând cu al treilea, este suma celor doi termeni din șir imediat precedenți, șirul pornind cu primii doi termeni egali cu o unitate. Formula sa de recurență este:

recurență.jpg

Raportul a doi termeni consecutivi ai șirului tinde către numărul de aur.

limita.jpg

Șirul lui Fibonacci exprimă legea creșterilor organice, adică este formalizarea matematică a modului în care se produc procesele de creștere în natură.

fibonacci_copacel.jpg

Șirul lui Fibonacci poate fi definit și prin formula termenului general (formula lui Binet):

binet.jpg

Între cele două definiții este un decalaj: conform primei definiții (1)

primii_termeni_1.jpg

iar conform celei de-a doua definiții (2)

primii_termeni_2.jpg

Cu excepția primilor doi termeni de la început, cele două definiții descriu același șir. Într-adevăr, dacă considerăm șirul definit în prima formă (1), în urma unor calcule elementare constatăm că șirul verifică relația de recurență din definiția (2) pentru orice n≥4.
Pornind de la formula φ2= 1 + φ, obținem expresia lui φ ca radical continuu:

radical_continuu2.jpg

numărul de aur apare acum ca fiind limita șirului:

radical_continuu1.jpg

Pornind de la formula φ = 1 + 1/φ, obținem expresia lui φ ca fracție continuă:

fractie_continua.jpg

numărul de aur apare acum ca fiind limita șirului:

fract_cont1.jpg

Zecimalele numărului φ sunt identice cu cele ale lui 1/φ și φ2:

propr.jpg
Aici se încheie prima parte, cu o prezentare  video a numărului de aur şi a şirului lui Fibonacci:
Sursa: 1

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Dacă ţi-a plăcut, te invit: să distribui(share) sau să apreciezi(like)  sau să comentezi(comment) postarea.

Mulţumesc, Zâmbetul Soarelui !

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

4 Răspunsuri to “Şirul lui Fibonacci – secţiunea de aur [1]”

  1. artzent 18/10/2012 la 5:11 pm #

    I don’t really get the math but I do get the pictures. I have a student who painted the spiral of the sunflowers center and felt that it was the hardest painting she had ever done.

    Apreciază

    • Sorina Chirila 19/10/2012 la 7:29 am #

      Are some interesting pictures… great work of the student i guess, and i’m glad you like this post

      Apreciază

  2. World of Solitaire 22/11/2012 la 11:53 pm #

    Mă întreb, tâmp, dacă aceste minuţii, ale Naturii, nu pot fi considerate lucrarea Domnului!
    Sau dacă nu ar trebui mai mult respect, faţă de ceea ce pseudoraţionalitatea noastră închipuită dispreţuieşte cu nonşalanţă.
    Lăudabila inspiraţia ta, asupra iniţiativei abordării temei.
    Ca un NB asupra insignifianţei noastre.
    Madi şi Onu

    Apreciază

    • Sorina Chirila 24/11/2012 la 7:48 am #

      Si eu am fost uimita cata perfectiune, cu adevarat minunatii ale Naturii, ale Divinitatii …
      Mai mult, nu stiu…

      Multumesc pentru comentariu,
      Sorina

      Apreciază

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: